Il "Far di conto"

Note sulla storia del concetto di numero

I metodi di calcolo si sono sviluppati parallelamente ai metodi di rappresentazione numerica, anche se la capacità di eseguire operazioni è certamente più recente,
Il primo strumento di calcolo è stato senza dubbio il nostro corpo stesso, e soprattutto le mani; dal conteggio elementare sulle dita si è passati a metodi più sviluppati; ad esempio la Fig.2.6 ci mostra l’uso delle falangi per contare fino a 28 sulle due mani (ogni falange rappresenta una unità):

Fig. 1.6
Comunque il conto sulle dita delle mani può raggiungere complessità molto più elevate: ad esempio in alcune zone della Cina si contava fino a 100.000 su una sola mano! Il metodo era questo: ogni dito della mano destra rappresentava una potenza del dieci (il mignolo per le unità, l’anulare per le decine, e così via..); su ogni dito i vari lati delle articolazioni (vedi la seguente Figura 2.7) rappresentavano le cifre da uno a nove.

Fig. 1.7

Le dita della mano sinistra si poggiavano nei punti delle articolazioni per segnare la cifra voluta. Ad esempio, per segnare 527, si poggia la punta del mignolo sinistro sull’articolazione in alto a destra del mignolo destro per indicare il 7, l’anulare sinistro su quello destro nel punto che indica 2 (decine) ed il medio sinistro al centro di quello destro per indicare 500.
La pratica di questo metodo permetteva di eseguire molto rapidamente somme e sottrazioni anche con numeri abbastanza elevati.

Uno dei più antichi strumenti di calcolo furono i gettoni (analoghi alle fiches in uso negli odierni casinò) . L’uso dei gettoni da parte di Sumeri e Elamiti (che abitavano l’attuali Iraq ed Iran) risale circa al 3000 a.C. Erano fatti di argilla essiccata e la loro forma stabiliva il loro valore (vedi Fig. 2.8).

Fig. 1.8

La scelta dei valori per i gettoni evidenzia l’uso da parte dei sumeri della base 60, con base ausiliare 10.

Per quanto riguarda le operazioni: le somme e sottrazioni venivano eseguite in modo ovvio e cioè aggiungendo o togliendo gettoni; nel caso della sottrazione poteva essere necessario prima “spicciolare” un gettone di valore maggiore in gettoni di valore minore, come facciamo con le monete: per fare 20 – 8 si doveva scomporre una delle due biglie che costituiscono il 20 in dieci piccoli coni da un’unità per poi togliere gli 8 indicati dalla sottrazione rimanendo quindi

con il risultato 12, dato da una biglia e due piccoli coni.

La moltiplicazione veniva eseguita tramite somme ripetute (ad esempio per moltiplicare 123 per 32, si sommava il 123 per 32 volte); ed infine anche la divisione si poteva effettuare, tramite "spicciolature" successive e divisione in mucchietti. Per esempio per fare (60:3)

bisognava “spicciolare” un grosso cono da 60 in 6 bilie da dieci che si potevano dividere in 3 mucchietti uguali, ognuno contenente 2 bilie, da cui si ricavava che 60:3 = 20 .

Nell’esempio seguente si vede una divisione per 7.

Lo strumento per "far di conto" che ha avuto però una lunghissima vita nel continente europeo (e in varie forme anche altrove) è l’Abaco a gettoni.
La parola “abaco” viene dal semitico abaq, che significa "polvere", "sabbia", infatti gli abaci più antichi erano tavoli ricoperti da un sottile strato di sabbia sui quali con uno stilo si segnavano i calcoli. Non si sa quale popolo abbia inventato questa potente macchina calcolatrice, forse i babilonesi; fra gli esemplari a nostra disposizione (Maya, Egiziani, Cinesi, Romani...) i più antichi hanno più di 2000 anni.
L’abaco a gettoni (vedi Fig. 2.8), usato in varie forme prima dai Greci, poi dai Romani e rimasto in uso in Europa fino al 1700.

Ecco un esempio di abaco romano:

Fig. 1.9

Questo è un piccolo abaco portatile ed i gettoni sono qui fissati (scorrevoli) in delle scanalature. Qual è l’idea di base dell’abaco? Si tratta di una tavola divisa in colonne ove si pongono dei gettoni. Le varie colonne rappresentano le potenze del 10, ed ogni gettone postovi rappresenta una unità di quella potenza.

Nella seguente figura vediamo lo schema di come rappresentare il numero 120512.

Fig. 1.10

Dell’abaco si affermò successivamente una versione leggermente più complessa, che usava anche una base ausiliare “5”, aggiungendo una casella (superiore) ad ogni colonna che rappresentava rispettivamente i valori 5, 50, 500,… Questo permetteva di risparmiare gettoni nei conti: un gettone in queste caselle ne rappresentava cinque della colonna sottostante (anche l’abaco di Fig. 2.7 è di questo tipo).

Nell’esempio in Fig. 2.11 abbiamo il numero 16476:

Fig. 1.11

Per eseguire somme e sottrazioni si aggiungevano e toglievano gettoni; naturalmente se in una colonna si arriva a più di dieci gettoni se ne tolgono 10 e se ne aggiunge uno nella colonna successiva,

Una forma più evoluta dell’abaco è il pallottoliere, rimasto in uso efficacemente in Russia, Cina e Giappone fin dopo la II guerra mondiale (dopo la guerra, in uno scontro di prova fra un contabile giapponese con un pallottoliere ed uno americano con una calcolatrice, il giapponese vinse sia in velocità che in precisione).
Vediamo di seguito alcuni fra le tipologie di abaco più usate:

L’abaco giapponese (Soroban):

Fig. 1.12

Il funzionamento è analogo a quello visto sopra per l’abaco romano: le palline sopra l’asta valgono cinque di quelle sotto, ed ogni colonna rappresenta una potanza del dieci. Per segnare i numeri, si spostano le palline verso l’asse centrale (in Fig. 12 è rappresentato il numero 106).

L’abaco cinese (Suan Pan):

Fig. 1.13

L’unica differenza con quello precedente è che si hanno a disposizione 2 palline del valore di 5 per facilitare i calcoli.

E’ da notare che su questi abachi le somme e sottrazioni vengono eseguite aggiungendo o togliendo il numero di palline corrispondenti all’addendo o al minuendo (la sottrazione va svolta da destra verso sinistra, “spicciolando” una pallina in dieci dell’unità inferiore se necessario). Le moltiplicazioni si svolgono come somme ripetute, ad esempio per moltiplicare 123 per 34 si sommerà 3 volte 1230 e poi 4 volte 123.

L’abaco russo:

Fig. 1.14

Qui non si hanno a disposizione le palline per le cinquine, il funzionamento è analogo a quello della prima versione dell’abaco romano. Poiché veniva usato per i conti dai negozianti, si notano le file da 4 palline per i quarti di rublo e i quarti dei cento rubli (= 25 rubli).

Notiamo che in tutti questi abaci, la presenza di 13 (talvolta 15) file di palline significa che si è in grado di eseguire conti con cifre fino a 1012 e cioè nell’ordine delle migliaia di miliardi!